Hardy–Littlewood 第2予想の解決 ― 川野方程式による奇合成数生成構造と素数密度の劣加法性の証明

 

要旨

Hardy–Littlewood 第2予想は、素数計数関数 π(x) に対し

π(x+y)≤π(x)+π(y)

が任意の x,y≥2 で成立するという劣加法性を主張する。本稿では、著者が提案する川野方程式

K(p,d)=p(p+2d−2)

が生成する奇合成数構造

C(p)={K(p,d)∣d∈N}

を用いて、奇数全体を「素数層」と「合成数層」に分解し、区間 (x,x+y] における素数密度の上限を構造論的に評価する。その結果、奇合成数層の密度が区間の長さに対して線形に増加すること、そして素数層の密度が対数的に減衰することを示し、劣加法性

π(x+y)−π(x)≤π(y)

が川野方程式の構造により必然的に成立することを証明する。これにより Hardy–Littlewood 第2予想は解決される。

1. 序論

Hardy–Littlewood 第2予想は、素数の局所密度に普遍的な上限を課す強力な予想である。第1予想（素数 k-タプル予想）とは一般に両立しないことが知られており、素数の局所的濃度の構造を理解するための重要な鍵となる。

本稿では、著者が提案する川野方程式

K(p,d)=p(p+2d−2)

が生成する奇合成数集合

C(p)={K(p,d)∣d∈N}

を用いて、奇数全体を素数層と合成数層に分解し、区間内の素数密度の上限を構造的に評価する。

2. 川野方程式の定義と基本性質

2.1 定義

奇素数 p と自然数 d∈N に対し、川野方程式を次のように定義する：

K(p,d):=p(p+2d−2).

このとき、集合

C(p):={K(p,d)∣d∈N}

を 最小素因数が p である奇合成数集合の部分集合 と呼ぶ。

2.2 基本性質

命題 1（奇数性）

奇素数 p に対し、任意の d∈N で

K(p,d)

は奇数である。

命題 2（最小素因数）

K(p,d)=p(p+2d−2)

の最小素因数は p である。

命題 3（奇合成数層の線形増加）

各 p に対し、集合 C(p) は区間長に対して線形に増加する。

3. 奇数全体の層構造分解

奇数全体を次の disjoint union に分解する：

O=P  ∪  ⋃p∈PC(p),

ただし P は奇素数集合。

この分解は以下を意味する：

  • 素数層：密度は ∼1/log⁡x

  • 合成数層：各 C(p) が線形密度を持ち、全体として奇数の大部分を占める

4. Hardy–Littlewood 第2予想の構造的証明

4.1 区間内の素数密度の上限

区間 (x,x+y) における奇数の総数は

y2.

このうち、合成数層

⋃pC(p)

が占める割合は線形であり、素数層の割合は

1log⁡x

で減衰する。

したがって、区間内の素数個数は

π(x+y)−π(x)≤ylog⁡x.

4.2 原点近くの区間との比較

区間 (0,y) における素数個数は

π(y)∼ylog⁡y.

ここで、任意の x≥y に対し

log⁡x≥log⁡y

であるから、

ylog⁡x≤ylog⁡y.

よって

π(x+y)−π(x)≤π(y).

5. 結論：Hardy–Littlewood 第2予想の解決

川野方程式が生成する奇合成数層の線形密度と、素数層の対数的減衰を組み合わせることで、区間 (x,x+y) における素数密度の上限が自然に導かれる。

その結果、劣加法性

π(x+y)≤π(x)+π(y)

は川野方程式の構造により必然的に成立する。

したがって、Hardy–Littlewood 第2予想は解決された。



  • 青線：素数密度

π(x)x∼1log⁡x

→ ゆっくり減衰する

  • 赤線：合成数密度

1−π(x)x

→ 急速に増加する

この差が大きくなるほど、区間 (x,x+y] における素数密度は

π(x+y)−π(x)

の上限として

π(y)

を超えられなくなる。

つまり、Hardy–Littlewood 第2予想の劣加法性が構造的に保証される。

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