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  要旨 本研究は、組合せ最適化問題である輪番割当問題（Pinwheel Scheduling）と、奇合成数生成方程式である川野方程式の間に存在する「密度構造の同型性」を体系的に示すものである。両者は数学的領域こそ異なるが、局所条件の集約によるグローバル密度の決定、被覆問題としての補集合構造、閾値による可否判定という共通の構造を持つ。本論文では、両者の密度空間を結ぶ写像を構成し、密度構造が同型であることを証明する。 1. はじめに 輪番割当問題は、周期タスク集合の逆数和によってスケジュール可能性が決定される密度判定問題である。一方、川野方程式は奇合成数集合を最小素因数ごとに生成する構造方程式であり、奇数集合の被覆構造を記述する。 両者は直接的な数学的関連を持たないが、 密度・被覆・補集合・局所–グローバル構造 という観点で深い同型性を示す。本研究はこの同型性を統合的に記述する。 2. 輪番割当問題の密度構造 2.1 密度の定義 周期タスク集合 { T i } の必要密度は D = ∑ i 1 T i . 2.2 6分の5予想とその解決 1993年に提唱された 6分の5予想 は D ≤ 5 6 ⇒ 必ずスケジュール可能 というものであり、2026年に河村彰星らによって完全に証明された。 2.3 被覆型の閾値 双対問題（covering）では D ≥ 1.264 … が最適限界であることが示されている。 3. 川野方程式の密度構造 3.1 川野方程式 K ( p , d ) = p ( p + 2 d − 2 ) は最小素因数 p を持つ奇合成数集合 C ( p ) = { K ( p , d ) ∣ d ∈ N } を生成する。 3.2 奇数集合の被覆構造 奇数集合 O は O = ⋃ p  prime C ( p ) で完全被覆され、その補集合が奇素数集合となる。 3.3 密度の局所因子積 奇素数の密度は ∏ p ( 1 − 1 p ( p − 1 ) ) という局所因子の積で決定される。 4. 密度構造の同型性（統合主定理） 主定理 輪番割当問題の密度空間 D = ∑ i 1 T i と、川野方程式の密度空間 ∏ p ( 1 − 1 p ( p − 1 ) ) は、以下の写像によって同型である： Φ :   1 T i ...

  1. 序論 ヒルベルト第十問題（Hilbert’s Tenth Problem, H10）は、 「任意のディオファントス方程式の整数解の存在を判定するアルゴリズムは存在するか」 という決定問題である。 Davis–Putnam–Robinson–Matiyasevich による DPRM 定理 により、 整数環 ℤ における H10 は否定的に解決され、 再帰的集合はすべてディオファントス集合である ことが示された。 この結果は、素数集合がディオファントス集合として表現可能であることを含意する。 実際、Jones–Sato–Wada–Wiens による素数表現多項式、 さらに Pąk–Kaliszyk（2022）による 10変数での素数集合の形式的ディオファントス表現 が存在する。 一方、川野方程式は著者が研究している「素数生成構造方程式」であり、 非線形反復写像として素数集合を生成する力学系である。 本研究の目的は、川野方程式が生成する素数集合を ディオファントス集合として同定可能であるか を検討し、 H10 の計算論的構造との接続を明確化することである。 2. ヒルベルト第十問題と素数集合のディオファントス表現 2.1 DPRM 定理 DPRM 定理は次を主張する： 任意の再帰的集合 R ⊂ N n はディオファントス集合として表現できる。 この結果は、計算可能性と数論構造の間に深い同型性を与える。 2.2 素数集合のディオファントス表現 既知の結果として、 Jones–Sato–Wada–Wiens による素数表現多項式 Pąk–Kaliszyk（2022）による 10変数での形式化 があり、素数集合 P r i m e は p ∈ P r i m e ⟺ ∃ z ∈ Z 10    G ( p , z ) = 0 という形でディオファントス集合として表現できる。 3. 川野方程式の構造 川野方程式は、著者が提案する素数生成構造方程式であり、 局所規則（local rule） 非線形反復写像 素数密度の大域構造 Dickson 予想・掛谷予想との構造的接続 を持つ。 川野方程式の反復写像を x n + 1 = F ( x n , n ) と書くと、素数軌道集合 P K = {   x n ∣ x n  が素数   } が自然に定義さ...