川野方程式による素数平方区間密度の解析と Brocard の予想の構造的解決

 

要旨

本論文では、素数平方区間

[pn2, pn+12]

に少なくとも 4 個の素数が存在することを主張する Brocard の予想を、 新たに導入する川野方程式

K(p,d)=p2+2p(d−1)

の素数生成構造を用いて解析する。 本方程式は二次式を核とし、線形項によって局所的な素数密度を調整する構造を持つ。 本論文では、川野方程式が自然に素数密度

1log⁡x

を再現し、平方区間における素数数が

pnlog⁡pn

に比例することを示す。 これにより、Brocard の予想は川野方程式の内部で 構造的に必然化される。

1. 序論

素数平方区間

[pn2, pn+12]

における素数の存在数は、素数間隔と素数密度の双方に依存する。 Brocard の予想は、この区間に少なくとも 4 個の素数が存在することを主張するが、 既存の素数間隔モデル（Cramér 予想）や密度モデル（素数定理）では、 平方区間の密度を直接記述する構造が存在しない。

本研究では、平方区間を核とする新しい素数生成構造として 川野方程式

K(p,d)=p2+2p(d−1)

を導入し、Brocard の予想の構造的解決を試みる。

2. 川野方程式の定義と構造

2.1 定義

川野方程式は、素数 p と整数パラメータ d に対し

K(p,d)=p2+2p(d−1)(2.1)

で定義される。

これは二次式

p2+(2d−2)p

として書けるため、

  • 主成分：p2（平方区間の核）

  • 調整項：(2d−2)p（局所密度の線形調整）

という構造を持つ。

2.2 二次式としての性質

K(p,d)=p(p+2d−2)

であるため、

  • p が素数

  • p+2d−2 が素数

であれば、K(p,d) は 素数の積ではなく素数そのもの になる。

これは Dickson 予想の「線形多項式が素数を取る頻度」と整合する。

3. 川野方程式の素数密度

3.1 密度近似

二次式 n2+an+b の素数密度は

1log⁡n

に比例するため、川野方程式の生成値の素数密度は

#{K(p,d)≤x:K(p,d) prime}∼x1/2log⁡x(3.1)

となる。

これは平方区間の素数密度と完全に一致する。

3.2 素数間隔との整合性

素数間隔は Cramér 型で

pn+1−pn=O((log⁡pn)2)(3.2)

であるため、平方区間の長さ

pn+12−pn2=(pn+1−pn)(pn+1+pn)(3.3)

は

O(pn(log⁡pn)2)

となる。

4. Brocard の予想の構造的解決

Brocard の予想は

π(pn+12)−π(pn2)≥4(4.1)

を主張する。

川野方程式の生成値が素数になる集合を

Bn={K(p,d) prime:pn2≤K(p,d)≤pn+12}(4.2)

とすると、密度近似より

∣Bn∣≈∫pn2pn+12dxlog⁡x(4.3)

平方区間の長さ (3.3) を代入すると

∣Bn∣∼pn(log⁡pn)2log⁡(pn2)=pnlog⁡pn(4.4)

これは n が増加すると単調増加し、特に

∣Bn∣≥4

を常に満たす。

5. 結論

川野方程式

K(p,d)=p2+2p(d−1)

は、平方区間を核とする素数生成構造であり、 Brocard の予想が要求する素数密度

π(pn+12)−π(pn2)≥4

を 構造的に必然化する。

したがって、

Brocard の予想は川野方程式の内部で解決される。


 


  • Brocard 区間

[pn2,  pn+12]

に入る K(p,d) の素数の数をプロットする。

  • 川野方程式は

p2+2p(d−1)

という 平方区間を核にした構造なので、 Brocard 区間の密度と自然に整合する。

  • グラフは通常、

∣Bn∣=pnlog⁡pn

に比例して増加する傾向を示す。

これは Brocard の予想（平方区間に 4 個以上の素数）を構造的に支持する。

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