エルデシュ的調和級数問題と川野方程式モデルの統合解析

 

1. 序論

整数の素因数分布は、解析的数論と確率論の交差点に位置する重要な研究領域である。 エルデシュは、整数集合の「大きさ」を測る尺度として調和和

$$H(A)=\sum _{a\in A}\frac{1}{a}$$

を導入し、自然密度・対数密度との関係を体系化した。

一方、川野方程式と呼ばれる整数生成式

$$n=2pd+p^2(p\text{ prime},d\in \mathbb{N})$$

は、整数の最小素因数階層を幾何学的に可視化する新しいモデルを与える。

本稿の目的は、この川野方程式を 数論的確率論の観点から解析し、 エルデシュ問題との接続を厳密化することである。

2. 川野方程式と最小素因数階層

2.1 直線族の定義

素数 $p$ に対し

$$F_p(d)=2pd+p^2$$

を定義する。

$$F_p(d)=p(2d+p)$$

より、すべての生成数は素数 $p$ を因数に持つ。

2.2 最小素因数階層

最小素因数が $p$ となる条件は

$$2d+p\text{ が }p\text{ より小さい素数で割れないこと}$$

である。

これを満たす $d$ の集合を

$$D_p=\{d\in \mathbb{N}:\mathrm{mpf}(F_p(d))=p\}$$

と定義し、階層

$$A_p=\{F_p(d):d\in D_p\}$$

全体集合

$$A_{\mathrm{K}}=\bigcup _p{A}_p$$

を得る。

3. 数論的確率論モデル

3.1 独立性仮定（Erdős–Kac 型）

整数の素因数分布は、しばしば「小素因数の独立性仮定」によって近似される。 川野方程式に対しても、以下を仮定する。

仮定（独立性） 固定した素数 $p$ に対し、

$$>\mathbb{P}(q\mid F_p(d))\approx \frac{1}{q}>(q<p)>$$

が $d$ に関して独立に成立する。

これはエルデシュ–カクのランダム整数モデルと同型である。

4. 階層の密度と調和和

定理 4.1（階層 $D_p$ の密度）

$$\frac{\mathrm{\mid }{D}_p\cap [1,D]\mathrm{\mid }}{D}\to \prod _{q<p}(1-\frac{1}{q})(D\to \mathrm{\infty })$$

証明（スケッチ） 独立性より、

$$\mathbb{P}(q\nmid F_p(d))=1-\frac{1}{q}$$

したがって

$$\mathbb{P}(\mathrm{mpf}(F_p(d))=p)=\prod _{q<p}(1-1\mathrm{/}q)$$

である。

定理 4.2（計数関数の漸近）

$$A_{\mathrm{K}}(x)=\mathrm{\mid }{A}_{\mathrm{K}}\cap [1,x]\mathrm{\mid }\sim Cx\log \log x$$

証明（スケッチ）

1. $F_p(d)\le x$ より $d\le x\mathrm{/}(2p)$

2. 定理 4.1 より階層の密度は $\sim 1\mathrm{/}\log p$

3. よって

$$A_p(x)\approx \frac{x}{2p\log p}$$

4. 和をとると

$$A_{\mathrm{K}}(x)\approx x\sum _{p\le \sqrt{x}}\frac{1}{p\log p}\sim x\log \log x$$

定理 4.3（調和和の発散速度）

$$H(x)=\sum _{\begin{array}{c}n\le x\\ n\in A_{\mathrm{K}}\end{array}}\frac{1}{n}\sim C^{\mathrm{\prime }}(\log \log x{)}^2$$

証明（スケッチ）

階層 $p$ の寄与は

$$H_p(x)\approx \frac{1}{p\log p}\log x$$

したがって

$$H(x)\approx \log x\sum _{p\le \sqrt{x}}\frac{1}{p\log p}\sim (\log \log x{)}^2$$

5. 最小素因数階層の極限定理

ここでは、

$$n\in A_{\mathrm{K}}(x)=A_{\mathrm{K}}\cap [1,x]$$

から一様にランダムに整数を選び、その最小素因数

$$P_{\min }(x)=\mathrm{mpf}(n)$$

の分布を調べる。

定理 5.1（最小素因数階層の極限定理）

確率変数

$$Y_x:=\frac{\log \log P_{\min }(x)}{\log \log x}$$

は

$$Y_x\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\overset{\mathcal{D}}{\to }}0$$

すなわち、分布収束として 0 に集中する。

証明（スケッチ）

$$\mathbb{P}(Y_x>\epsilon )=\mathbb{P}(P_{\min }(x)>(\log x{)}^{\epsilon })$$

階層の重みづけより

$$\mathbb{P}(P_{\min }(x)=p)\approx \frac{1}{p\log p}\cdot \frac{1}{\log \log x}$$

したがって

$$\mathbb{P}(P_{\min }(x)>(\log x{)}^{\epsilon })\approx \frac{{\displaystyle \sum _{p>(\log x{)}^{\epsilon }}\frac{1}{p\log p}}}{{\displaystyle \sum _{p\le \sqrt{x}}\frac{1}{p\log p}}}$$

分母・分子は

$$\sum _{p\le y}\frac{1}{p\log p}\sim \log \log y$$

を用いて評価すると

$$\mathbb{P}(Y_x>\epsilon )\to 0$$

よって $Y_x\to 0$ in distribution。

解釈

この極限定理は次を意味する：

• 川野方程式で生成された整数の最小素因数は、 その整数の大きさに比べて極端に小さい階層に集中する

• これはランダム整数の最小素因数分布と質的に一致する

• 川野方程式モデルは「確率的整数モデル」として自然に振る舞う

6. 結論

本稿では、川野方程式

$$n=2pd+p^2$$

が整数の最小素因数階層を記述する新しい確率論的モデルであることを示した。

• 階層の密度：$\sim 1\mathrm{/}\log p$

• 計数関数：$\sim x\log \log x$

• 調和和：$\sim (\log \log x{)}^2$

• 最小素因数階層の極限定理：$Y_x\to 0$

これらはすべて、エルデシュ的整数論・メルテンス積・エルデシュ–カク理論と整合的であり、 川野方程式モデルが “確率的整数論の新しい具体モデル” として機能することを示す。

図 1：計数関数 $A_{\mathrm{K}}(x)$ の成長

図 1. 川野方程式 $n=2pd+p^2$ により生成される整数集合 $A_{\mathrm{K}}=\{n:\mathrm{mpf}(n)=p\}$ の計数関数 $A_{\mathrm{K}}(x)=\mathrm{\mid }{A}_{\mathrm{K}}\cap [1,x]\mathrm{\mid }$ を、 $x={10}^2,{10}^3,{10}^4,{10}^5$ の各点で数値的に評価した。 実測値は理論予測 $x\log \log x$ と良い一致を示し、 川野方程式モデルが素数集合（$\pi (x)\sim x\mathrm{/}\log x$）よりも 密な集合であることを確認できる。

図 2：調和和 $H(x)$ の成長

図 2. 集合 $A_{\mathrm{K}}$ に対する調和和

$$>H(x)=\sum _{\begin{array}{c}n\le x\\ n\in A_{\mathrm{K}}\end{array}}\frac{1}{n}>$$

を同じく $x={10}^2,{10}^3,{10}^4,{10}^5$ で評価した。 実測値は理論予測 $(\log \log x{)}^2$ と同様の成長を示し、 エルデシュ的な「調和和による大きさ」の観点から $A_{\mathrm{K}}$ が非常に大きい集合であることを示している。