一次パラメトリック集合 𝐴 𝑝 = { 𝑝 ( 𝑝 + 2 𝑑 − 2 ) } の原始集合構造と Erdős 和の評価

 

1. 序論

整数論において、原始集合（primitive set） は

$$a,b\in A,a\mid b\Rightarrow a=b$$

を満たす集合であり、集合内の異なる整数同士に可除関係が存在しないことを意味する。

P. Erdős は 1935 年に、任意の原始集合 $A$ に対して

$$\sum _{a\in A}\frac{1}{a\log a}$$

が絶対定数で一様に上から抑えられることを示した。この評価は Erdős 和 と呼ばれ、整数の可除性構造を測る重要な指標である。

本論文では、素数 $p$ と自然数 $d$ により定義される一次パラメトリック集合

$$A_p=\{p(p+2d-2)\mid d\ge 1\}$$

を対象とし、この集合が

• 原始集合の典型例となること

• Erdős 和

$$S_p=\sum _{n\in A_p}\frac{1}{n\log n}$$

が $\mathrm{\Theta }(1\mathrm{/}p)$ で評価できること

を示す。

2. 原始集合（primitive set）

2.1 定義

自然数集合 $A\subset \mathbb{N}$ が 原始集合（primitive set） であるとは

$$a,b\in A,a\mid b\Rightarrow a=b$$

が成り立つことをいう。

つまり、

集合内の異なる 2 つの整数の間に可除関係が存在しない集合

である。

2.2 例と反例

例（primitive）

• 素数全体 $\{2,3,5,7,\dots \}$

• 異なる素数の積 $\{6,10,14,15,21,\dots \}$

反例（primitive ではない）

• $\{2,4,8,16,\dots \}$（2|4|8|16）

• $\{6,12,18,24,\dots \}$（6|12, 6|18）

3. 本研究の集合 $A_p$ の構造

$$n_d=p(p+2d-2)=2pd+(p^2-2p)$$

これは 傾き $2p$ の一次関数 に乗る整数列である。

3.1 具体例：p=5 の場合

$$n_d=5(5+2d-2)=10d+15$$

d	n_d	素因数分解
1	25	5²
2	35	5×7
3	45	5×9
4	55	5×11
5	65	5×13

このうち、45 は 3 が最小素因数なので除外すると

$$A_5=\{25,35,55,65,85,95,\dots \}$$

3.2 $A_p$ が原始集合になる理由

異なる $d_1\mathrm{\ne }{d}_2$ に対して

$$\frac{n_{d_2}}{n_{d_1}}=\frac{p+2d_2-2}{p+2d_1-2}$$

右辺は 2d+定数 の比であり、整数になることは極めて稀。

具体例：p=5

• 25 は 35 を割らない

• 35 は 55 を割らない

• 55 は 65 を割らない

したがって

$$A_p\text{ は自然に primitive set を形成する}$$

4. Erdős 和の評価

$$S_p=\sum _{n\in A_p}\frac{1}{n\log n}$$

一般項は

$$\frac{1}{n_d\log n_d}\sim \frac{1}{2pd\log (2pd)}\mathrm{.}$$

4.1 具体例：p=5 の最初の数項

$$A_5=\{25,35,55,65,85,\dots \}$$

n	1/(n log n)
25	0.0144
35	0.0101
55	0.0064
65	0.0053
85	0.0040

部分和

$$S_5(5)=0.0402$$

4.2 一般評価

積分近似により

$$S_p(N)\approx \frac{1}{2p}(\log \log (2pN)-\log \log (2p))$$

極限で

$$\boxed{{\displaystyle S_p=\mathrm{\Theta }\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{p}\right)}}$$

5. 主定理

定理

素数 $p$ に対し

$$A_p=\{p(p+2d-2)\mid d\ge 1\}$$

とおく。このとき Erdős 和

$$S_p=\sum _{n\in A_p}\frac{1}{n\log n}$$

は収束し、絶対定数 $c_1,c_2>0$ が存在して

$$\boxed{{\displaystyle \frac{c_1}{p}\le S_p\le \frac{c_2}{p}}}$$

が成り立つ。

特に

$$S_p=\mathrm{\Theta }(1\mathrm{/}p)$$

6. 結論

本論文では、

• 原始集合（primitive set）の定義

• 一次パラメトリック集合 $A_p$ の構造

• 可除性の欠如による primitive 性

• Erdős 和の厳密評価

• 具体例による理解の補強

を統合的に扱い、一次列

$$A_p=\{p(p+2d-2)\}$$

が 自然に primitive set を形成し、Erdős 和が $\mathrm{\Theta }(1\mathrm{/}p)$ に抑えられる ことを示した。

最小素因数が p の整数について ${\displaystyle S_p=\sum _{n\in A_p}\frac{1}{n\log n}}$ を計算すると、 p が大きくなるほど S_p は急速に小さくなり、 その減り方はほぼ $1\mathrm{/}p$ に比例する。

つまりグラフは：

• S_p は 1 に近づかない

• むしろ 0 に向かって下がる

• 下がり方は “1/p の曲線” とほぼ同じ

という事実を視覚的に示す。